Números perfectos y su Historia

Números perfectos

          Un número perfecto es un número entero positivo que es igual a la suma de sus divisores propios positivos. Dicho de otra forma, un número perfecto es aquel que es amigo de sí mismo. Así, 6 es un número perfecto porque sus divisores propios positivos son 1, 2 y 3; y 6 = 1 + 2 + 3. Un divisor propio positivo de un número es un factor positivo de ese número que no sea el propio número. Por ejemplo, los divisores propios de 6 son 1, 2 y 3, pero no 6. Los siguientes números perfectos son 28, 496 y 8128.

 

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248

8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064

Historia 

     El matemático Euclides descubrió que los cuatro primeros números perfectos vienen dados por la fórmula

 

n = 2:   2 × (2² – 1) = 6

n = 3:   2² × (2³ – 1) = 28

n = 5:   2⁴ × (2⁵ – 1) = 496

     Al darse cuenta de que 2n – 1 es un número primo en cada caso, Euclides demostró que la fórmula 2n–1(2n – 1) genera un número perfecto par siempre que 2n – 1 es primo.

 

      Los matemáticos de la Antigüedad hicieron muchas suposiciones sobre los números perfectos basándose en los cuatro que ya conocían. Muchas de estas suposiciones han resultado ser falsas. Una de ellas era que, como 2, 3, 5 y 7 eran precisamente los cuatro primeros números primos, el quinto número perfecto se obtendría con n = 11, el quinto número primo. Sin embargo, 211 – 1 = 2047 = 23 × 89 no es primo y por tanto n = 11 no genera un número perfecto. Dos de las otras suposiciones equivocadas eran:

      El quinto número perfecto tendría cinco dígitos, ya que los cuatro primeros tienen 1, 2, 3 y 4, respectivamente.

      Los números perfectos terminarían alternativamente en 6 y en 8.

     El quinto número perfecto (33 550 336) tiene 8 dígitos, contradiciendo así la primera suposición. En cuanto a la segunda, el quinto número perfecto acaba en 6, pero también el sexto (8 589 869 056) termina en 6. (El que la última cifra de un número perfecto par expresado en base 10 siempre sea 6 u 8 no es difícil de demostrar). Fue en 1603 cuando Pietro Cataldi halló los números perfectos sexto y séptimo, 216(217 – 1) = 8 589 869 056 y 218(219 – 1)= 137 438 691 328.1​

 

     Es verdad que si 2n – 1 es un número primo, entonces n también debe ser primo, pero el recíproco no es necesariamente cierto. Hoy en día, a los números primos generados por la fórmula 2n – 1 se los conoce como números primos de Mersenne, en honor al monje del siglo xvii Marin Mersenne, quien estudió teoría de números y números perfectos. Posteriormente, Leonhard Euler demostró en el siglo xviii que todos los números perfectos pares se generan a partir de la fórmula que ya descubrió Euclides: Teorema de Euclides-Euler. No se conoce la existencia de números perfectos impares. Sin embargo, existen algunos resultados parciales al respecto. Si existe un número perfecto impar debe ser mayor que 10300, debe tener al menos 8 factores primos distintos (y al menos 11 si no es divisible por 3). Uno de esos factores debe ser mayor que 107, dos de ellos deben ser mayores que 10 000 y tres factores deben ser mayores que 100.